मेंसुरेशन (Mensuration) सूत्र – सभी महत्वपूर्ण क्षेत्रफल, परिमाप और आयतन के सूत्र
मेंसुरेशन गणित की वह शाखा है जिसमें विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों का परिमाप (Perimeter), क्षेत्रफल (Area), पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) तथा आयतन (Volume) ज्ञात किया जाता है। रेलवे, SSC, बैंक, पुलिस एवं अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं में मेंसुरेशन से नियमित रूप से प्रश्न पूछे जाते हैं।
2D Shapes(द्विविमीय आकृतियाँ)
1. आयत (Rectangle)
आयत एक ऐसी चतुर्भुज आकृति है जिसकी विपरीत भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं।
- क्षेत्रफल (Area) = l × b
- परिमाप (Perimeter) = 2(l + b)
- विकर्ण (Diagonal) = √(l² + b²)
2. वर्ग (Square)
वर्ग एक ऐसी चतुर्भुज आकृति है जिसकी चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।
क्षेत्रफल (Area) = a²
परिमाप (Perimeter) = 4a
विकर्ण (Diagonal) = a√2
3. त्रिभुज (Triangle)
तीन भुजाओं से बनी बंद आकृति को त्रिभुज कहते हैं।
क्षेत्रफल (Area) = ½ × b × h
परिमाप (Perimeter) = a + b + c
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल = (√3/4)a²
4. समांतर चतुर्भुज (Parallelogram)
समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाएँ बराबर और समानांतर होती हैं।
क्षेत्रफल (Area) = b × h
परिमाप (Perimeter) = 2(a + b)
5. समलंब चतुर्भुज (Trapezium)
समलंब चतुर्भुज में केवल एक जोड़ी भुजाएँ समानांतर होती हैं।
क्षेत्रफल (Area) = ½(a + b)h
6. समचतुर्भुज (Rhombus)
समचतुर्भुज की चारों भुजाएँ बराबर होती हैं।
क्षेत्रफल (Area) = ½ × d₁ × d₂
परिमाप (Perimeter) = 4a
7. वृत्त (Circle)
वृत्त वह आकृति है जिसके सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं।
क्षेत्रफल (Area) = πr²
परिधि (Circumference) = 2πr
व्यास (Diameter) = 2r
8. अर्धवृत्त (Semicircle)
वृत्त के आधे भाग को अर्धवृत्त कहते हैं।
क्षेत्रफल (Area) = ½πr²
परिमाप (Perimeter) = πr + 2r
9. नियमित षट्भुज (Regular Hexagon)
नियमित षट्भुज की सभी छह भुजाएँ बराबर होती हैं।
परिमाप (Perimeter) = 6a
क्षेत्रफल (Area) = (3√3/2)a²
10. नियमित अष्टभुज (Regular Octagon)
नियमित अष्टभुज की सभी आठ भुजाएँ बराबर होती हैं।
परिमाप (Perimeter) = 8a
क्षेत्रफल (Area) = 2(1 + √2)a²
(3D Shapes)त्रिविमीय आकृतियाँ
1. घन (Cube)
घन एक त्रिविमीय आकृति है जिसकी सभी भुजाएँ बराबर होती हैं।
आयतन (Volume) = a³
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 6a²
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA) = 4a²
विकर्ण (Diagonal) = a√3
2. घनाभ (Cuboid)
घनाभ एक त्रिविमीय आकृति है जिसकी लंबाई, चौड़ाई तथा ऊँचाई होती है।
आयतन (Volume) = l × b × h
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2(lb + bh + hl)
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (LSA) = 2h(l + b)
विकर्ण (Diagonal) = √(l² + b² + h²)
3. बेलन (Cylinder)
बेलन दो समान वृत्ताकार आधारों वाली त्रिविमीय आकृति है।
आयतन (Volume) = πr²h
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πrh
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 2πr(r + h)
4. शंकु (Cone)
शंकु एक त्रिविमीय आकृति है जिसका आधार वृत्ताकार होता है।
आयतन (Volume) = ⅓πr²h
तिर्यक ऊँचाई (l) = √(r² + h²)
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = πrl
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = πr(l + r)
5. गोला (Sphere)
गोला एक पूर्णतः गोल त्रिविमीय आकृति है।
आयतन (Volume) = (4/3)πr³
पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) = 4πr²
6. अर्धगोला (Hemisphere)
गोले के आधे भाग को अर्धगोला कहते हैं।
आयतन (Volume) = (2/3)πr³
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = 2πr²
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = 3πr²
7. शंकु का छिन्नक (Frustum of Cone)
शंकु के ऊपरी भाग को काटने पर प्राप्त आकृति को शंकु का छिन्नक कहते हैं।
आयतन (Volume) = (1/3)πh(R² + r² + Rr)
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = π(R + r)l
कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = π(R + r)l + π(R² + r²)
परीक्षा हेतु महत्वपूर्ण टिप्स
- वर्ग और घन के सूत्र सबसे अधिक पूछे जाते हैं।
- वृत्त, बेलन और शंकु से संबंधित प्रश्न SSC एवं रेलवे परीक्षाओं में बार-बार आते हैं।
- क्षेत्रफल और परिमाप के सूत्रों को अलग-अलग याद करें।
- π का मान प्रश्न के अनुसार 22/7 या 3.14 प्रयोग करें।
- आयतन संबंधी प्रश्नों में इकाइयों (cm³, m³) पर विशेष ध्यान दें।